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计算几何基础

计算几何是计算机科学中的一个重要分支，主要研究几何问题的算法设计与实现。它在图形学、机器人学、地理信息系统（GIS）等领域有着广泛的应用。本文将介绍计算几何的基本概念、常用算法以及实际应用场景，帮助初学者快速入门。

什么是计算几何？​

计算几何（Computational Geometry）是研究如何利用计算机高效地解决几何问题的学科。它涉及点、线、多边形等几何对象的表示、操作和分析。计算几何的核心目标是通过算法优化，解决几何问题的时间和空间复杂度。

提示

计算几何的典型问题包括：

  • 判断点是否在多边形内
  • 计算两个线段的交点
  • 计算凸包
  • 计算最近点对

基本概念​

1. 点的表示​

在计算几何中，点通常用坐标表示。例如，二维平面上的点可以用 (x, y) 表示。

python
# 二维点的表示
point = (3, 4)

2. 向量的表示​

向量是计算几何中的重要概念，它表示方向和大小。向量可以通过两个点的坐标差来表示。

python
# 向量的表示
vector = (x2 - x1, y2 - y1)

3. 叉积（Cross Product）​

叉积是计算几何中的基本操作，用于判断两个向量的方向关系。对于二维向量 (x1, y1) 和 (x2, y2)，叉积的计算公式为：

cross_product = x1 * y2 - x2 * y1
  • 如果 cross_product > 0，表示向量 (x1, y1) 在向量 (x2, y2) 的逆时针方向。
  • 如果 cross_product < 0，表示向量 (x1, y1) 在向量 (x2, y2) 的顺时针方向。
  • 如果 cross_product = 0，表示两个向量共线。

常用算法​

1. 判断点是否在多边形内​

判断一个点是否在多边形内是计算几何中的经典问题。常用的算法是射线交点法（Ray Casting Algorithm）。

python
def is_point_in_polygon(point, polygon):
    x, y = point
    n = len(polygon)
    inside = False
    for i in range(n):
        x1, y1 = polygon[i]
        x2, y2 = polygon[(i + 1) % n]
        if y > min(y1, y2):
            if y <= max(y1, y2):
                if x <= max(x1, x2):
                    if y1 != y2:
                        xinters = (y - y1) * (x2 - x1) / (y2 - y1) + x1
                    if y1 == y2:
                        if y == y1 and x <= max(x1, x2):
                            inside = not inside
                    else:
                        if x1 == x2 or x <= xinters:
                            inside = not inside
    return inside

输入：

python
point = (5, 5)
polygon = [(1, 1), (10, 1), (10, 10), (1, 10)]

输出：

True

2. 计算凸包​

凸包是包含所有点的最小凸多边形。常用的算法是 Graham 扫描法（Graham's Scan）。

python
def convex_hull(points):
    # 找到最左下角的点
    start = min(points, key=lambda p: (p[1], p[0]))
    sorted_points = sorted(points, key=lambda p: (atan2(p[1] - start[1], p[0] - start[0]), p[0]))
    hull = []
    for p in sorted_points:
        while len(hull) >= 2 and cross(hull[-2], hull[-1], p) <= 0:
            hull.pop()
        hull.append(p)
    return hull

输入：

python
points = [(1, 1), (2, 2), (2, 0), (2, 4), (3, 3), (4, 2)]

输出：

[(1, 1), (2, 0), (4, 2), (3, 3), (2, 4)]

实际应用场景​

1. 图形学​

在计算机图形学中，计算几何用于处理图形的渲染、碰撞检测等问题。例如，判断一个点是否在多边形内可以用于实现鼠标点击交互。

2. 机器人学​

在机器人路径规划中，计算几何用于避障和路径优化。例如，计算凸包可以帮助机器人找到最短路径。

3. 地理信息系统（GIS）​

在 GIS 中，计算几何用于处理地图数据。例如，判断一个点是否在某个区域内可以用于地理围栏的实现。

总结​

计算几何是计算机科学中一个重要的领域，涉及点、线、多边形等几何对象的算法设计与实现。本文介绍了计算几何的基本概念、常用算法以及实际应用场景，适合初学者入门学习。

附加资源与练习​

资源​

练习​

  1. 实现一个函数，判断两个线段是否相交。
  2. 实现一个函数，计算一组点的最近点对。
  3. 使用凸包算法解决一个实际问题，例如机器人路径规划。
警告

在实现算法时，务必注意边界条件和特殊情况，例如共线点或重合点。