完全背包问题

什么是完全背包问题？

完全背包问题是动态规划中的经典问题之一。与 0-1 背包问题不同，完全背包问题允许每种物品被选择多次。也就是说，每种物品的数量是无限的。我们的目标是在不超过背包容量的前提下，选择一些物品，使得这些物品的总价值最大。

问题描述

假设我们有一个容量为 C 的背包，以及 n 种物品。每种物品有一个重量 w[i] 和一个价值 v[i]。我们的任务是选择一些物品放入背包中，使得这些物品的总重量不超过 C，并且总价值最大。

完全背包问题的动态规划解法

状态定义

我们定义一个二维数组 dp[i][j]，其中 i 表示前 i 种物品，j 表示当前背包的容量。dp[i][j] 表示在前 i 种物品中，容量为 j 的背包所能获得的最大价值。

状态转移方程

对于每种物品 i，我们有两种选择：

1. 不选择该物品：此时 dp[i][j] = dp[i-1][j]。
2. 选择该物品：此时 dp[i][j] = dp[i][j-w[i]] + v[i]。

因此，状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]] + v[i])

代码示例

以下是一个使用动态规划解决完全背包问题的 Python 代码示例：

python

def complete_knapsack(C, weights, values):
    n = len(weights)
    dp = [0] * (C + 1)
    
    for i in range(n):
        for j in range(weights[i], C + 1):
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i])
    
    return dp[C]

# 示例输入
C = 10
weights = [2, 3, 4, 5]
values = [3, 4, 5, 6]

# 输出最大价值
print(complete_knapsack(C, weights, values))  # 输出: 13

解释

• C 是背包的容量。
• weights 是每种物品的重量列表。
• values 是每种物品的价值列表。
• dp[j] 表示容量为 j 的背包所能获得的最大价值。

在代码中，我们通过两层循环来更新 dp 数组。外层循环遍历每种物品，内层循环遍历背包的容量。通过这种方式，我们可以确保每种物品可以被选择多次。

实际应用场景

完全背包问题在实际生活中有许多应用场景。例如：

1. 资源分配：在有限的资源下，如何选择项目以获得最大收益。
2. 投资组合：在有限的资金下，如何选择投资项目以获得最大回报。
3. 生产计划：在有限的生产能力下，如何选择产品组合以获得最大利润。

总结

完全背包问题是动态规划中的一个重要问题，它允许每种物品被选择多次。通过定义合适的状态和状态转移方程，我们可以有效地解决这个问题。本文通过清晰的解释和代码示例，帮助你理解完全背包问题的基本概念和解决方法。

附加资源与练习

• 练习：尝试修改代码，使其能够输出选择的物品列表。
• 进一步学习：了解 0-1 背包问题与完全背包问题的区别，并尝试解决其他变种背包问题。

提示

如果你对动态规划的其他问题感兴趣，可以继续学习 0-1 背包问题、多重背包问题等。这些问题的解决方法与完全背包问题类似，但有一些细微的差别。