跳到主要内容

Lean 组合数学库

介绍​

组合数学是数学的一个分支，主要研究离散结构及其性质。它涉及排列、组合、图论、集合论等领域。Lean是一种交互式定理证明器，它不仅可以用于形式化数学证明，还可以用于编写和验证组合数学中的算法和定理。Lean的组合数学库为这些任务提供了强大的工具和数据结构。

在本文中，我们将介绍Lean组合数学库的基本概念，并通过代码示例和实际案例来展示如何使用这些工具。

基本概念​

排列与组合​

排列和组合是组合数学中最基本的概念之一。排列是指从一组元素中按一定顺序选取若干个元素，而组合则是指从一组元素中选取若干个元素，不考虑顺序。

在Lean中，我们可以使用list和finset等数据结构来表示排列和组合。例如，以下代码展示了如何生成一个列表的所有排列：

import data.list.perm

def all_permutations {α : Type*} [decidable_eq α] : list α → list (list α)
| [] := [[]]
| (x :: xs) := (all_permutations xs).bind (λ ys, (list.range (ys.length + 1)).map (λ n, ys.insert_nth n x))

图论​

图论是组合数学的另一个重要分支，研究图的结构和性质。在Lean中，图可以用simple_graph类型来表示。以下是一个简单的无向图的定义：

import combinatorics.simple_graph

def my_graph : simple_graph ℕ :=
{ adj := λ n m, n + m = 5,
  symm := λ n m h, by rw [add_comm, h],
  loopless := λ n h, by linarith }

集合论​

集合论是数学的基础，研究集合及其运算。在Lean中，集合可以用set类型来表示。以下是一个集合的基本操作示例：

import data.set.basic

def my_set : set ℕ := {1, 2, 3, 4, 5}

#check my_set ∩ {3, 4, 5}  -- 交集
#check my_set ∪ {6, 7}     -- 并集

实际案例​

案例1：计算排列数​

假设我们需要计算从5个元素中选取3个元素的排列数。我们可以使用Lean的组合数学库来实现这一计算：

import data.nat.choose

def permutations (n k : ℕ) : ℕ := nat.factorial n / nat.factorial (n - k)

#eval permutations 5 3  -- 输出 60

案例2：图的连通性​

我们可以使用Lean来验证一个图是否是连通的。以下代码展示了如何检查一个图是否连通：

import combinatorics.simple_graph.connectivity

def is_connected (G : simple_graph ℕ) : Prop := ∀ (u v : ℕ), G.reachable u v

#check is_connected my_graph  -- 检查my_graph是否连通

总结​

Lean的组合数学库为组合数学的研究和计算提供了强大的工具。通过本文的介绍，我们了解了如何使用Lean进行排列、组合、图论和集合论的基本操作。我们还通过实际案例展示了这些工具的应用。

附加资源与练习​

  • 练习1：尝试使用Lean编写一个函数，计算从n个元素中选取k个元素的组合数。
  • 练习2：定义一个简单的有向图，并验证其是否强连通。
  • 附加资源：阅读Lean官方文档中关于组合数学库的部分，了解更多高级功能和应用。

通过不断练习和探索，你将能够熟练掌握Lean的组合数学库，并将其应用于更复杂的数学问题中。