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Lean 良基归纳

介绍​

在Lean中，良基归纳（Well-founded Induction）是一种强大的归纳方法，它允许我们基于某种良基关系（Well-founded Relation）进行归纳证明。良基关系是一种没有无限递减序列的关系，这意味着在这种关系下，任何集合都有一个最小元素。良基归纳法在证明某些递归定义或算法的终止性时非常有用。

什么是良基关系？​

良基关系是一种二元关系，满足以下条件：

  • 不存在无限递减的序列，即不存在无限序列 a₁, a₂, a₃, ... 使得 a₁ > a₂ > a₃ > ...。
  • 任何非空子集都有一个最小元素。

常见的良基关系包括自然数上的 < 关系、列表上的长度关系等。

良基归纳的基本原理​

良基归纳的基本思想是：

  • 如果我们能证明对于某个元素 x，所有比 x “更小”的元素都满足某个性质 P，那么 x 也满足 P。
  • 由于良基关系没有无限递减序列，这种归纳法总是有效的。

在Lean中，我们可以使用 well_founded.fix 来定义基于良基关系的递归函数，或者使用 well_founded.induction 来进行归纳证明。

代码示例：自然数上的良基归纳​

以下是一个简单的例子，展示如何在Lean中使用良基归纳法证明自然数的某个性质。

import tactic

-- 定义一个性质 P，表示自然数 n 满足某个条件
def P : ℕ → Prop := λ n, n ≤ 10

-- 使用良基归纳法证明所有自然数 n 都满足 P n
theorem all_n_le_10 : ∀ n : ℕ, P n :=
begin
  -- 使用良基归纳法
  apply well_founded.induction nat.lt_wf,
  intros n ih,
  -- 如果 n ≤ 10，直接成立
  cases n,
  { exact nat.zero_le 10 }, -- 基本情况：n = 0
  { cases n,
    { exact nat.le_refl 10 }, -- n = 1
    { exact le_trans (ih n.succ (nat.lt_succ_self n.succ)) (nat.le_succ 10) } -- 归纳步骤
  }
end

解释​

  1. 我们定义了一个性质 P，表示自然数 n 满足 n ≤ 10。
  2. 使用 well_founded.induction 进行归纳证明，其中 nat.lt_wf 是自然数上的良基关系（即 <）。
  3. 在归纳步骤中，我们假设所有比 n 小的数都满足 P，然后证明 n 也满足 P。

实际应用：证明递归函数的终止性​

良基归纳法常用于证明递归函数的终止性。例如，考虑以下递归函数：

def factorial : ℕ → ℕ
| 0       := 1
| (n + 1) := (n + 1) * factorial n

我们可以使用良基归纳法证明 factorial 对所有自然数都有定义。

总结​

良基归纳是Lean中一种强大的归纳方法，适用于基于良基关系的归纳证明。通过理解良基关系的基本原理，并掌握 well_founded.induction 的使用方法，你可以更灵活地处理复杂的归纳问题。

附加资源与练习​

练习​

  1. 尝试使用良基归纳法证明以下性质：

    • 对于所有自然数 n，n < 2^n。
    • 对于所有列表 l，length l ≤ 2^(length l)。

  2. 定义一个递归函数，并使用良基归纳法证明其终止性。

资源​

提示

良基归纳法不仅适用于自然数，还可以扩展到其他数据类型（如列表、树等）。尝试探索更多应用场景！